FÍSICA GRACELI TENSORIAL QUÂNTICA.

equação Graceli  quântica []  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

equação Graceli  tensorial quântica [1]   [DR] =            .=  =

 = tensor energia momentum

 = tensor quântico de Graceli.

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

 

    G  [DR] =             =

 G  [DR] =          =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

  G  [DR] =            .= 

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

     G  [DR] =             =

 G  [DR] =         =

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G  [DR]  = É O TENSOR   GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

    ] ω  , ,   =

Na mecânica quântica, o teorema de Hellmann – Feynman relaciona a derivada da energia total em relação a um parâmetro, ao valor esperado da derivada do Hamiltoniano em relação a esse mesmo parâmetro. De acordo com o teorema, uma vez que a distribuição espacial dos elétrons tenha sido determinada resolvendo a equação de Schrödinger, todas as forças no sistema podem ser calculadas usando a eletrostática clássica .

O teorema foi provado de forma independente por muitos autores, incluindo Paul Güttinger (1932),^[1] Wolfgang Pauli (1933),^[2] Hans Hellmann (1937) ^[3] e Richard Feynman (1939).^[4]

O teorema afirma

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Onde

• ${\displaystyle {\widehat{�}}_{�}}$ é um operador hamiltoniano, dependendo de um parâmetro contínuo ${\displaystyle �}$ ,
• ${\displaystyle |{�}_{�}⟩}$, é um estado próprio (auto função) do Hamiltoniano, dependendo implicitamente de ${\displaystyle �}$ ,
• ${\displaystyle {�}_{�}}$ é a energia (autovalor) do estado ${\displaystyle |{�}_{�}⟩}$, ie ${\displaystyle {\widehat{�}}_{�}|{�}_{�}⟩={�}_{�}|{�}_{�}⟩}$ .

• /

  equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Prova

Essa prova do teorema de Hellmann – Feynman exige que a função de onda seja uma função própria do Hamiltoniano em consideração; no entanto, também se pode provar de maneira mais geral que o teorema se aplica a funções de onda sem função própria que são estacionárias (derivada parcial é zero) para todas as variáveis relevantes (como rotações orbitais). A função de onda Hartree – Fock é um exemplo importante de uma função própria aproximada que ainda satisfaz o teorema de Hellmann – Feynman. Um exemplo notável de onde a Hellmann – Feynman não é aplicável é, por exemplo, a teoria de perturbações de Møller – Plesset de ordem finita, que não é variacional.^[5]

A prova também emprega uma identidade de funções de onda normalizadas   - que as derivadas da sobreposição de uma função de onda com ela mesma devem ser zero. Usando a notação de braçadeira de Dirac, essas duas condições são escritas como

${\displaystyle {\widehat{�}}_{�}|{�}_{�}⟩={�}_{�}|{�}_{�}⟩,}$

${\displaystyle ⟨{�}_{�}|{�}_{�}⟩=1\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}�}⟨{�}_{�}|{�}_{�}⟩=0.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

A prova então segue através da aplicação da regra do produto derivado ao valor esperado do Hamiltoniano visto como uma função de λ:

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Prova alternativa

O teorema de Hellmann-Feynman é na realidade uma consequência direta e, em certa medida trivial, do princípio variacional (o princípio variacional de Rayleigh-Ritz ) do qual a equação de Schrödinger pode ser derivada. É por isso que o teorema de Hellmann-Feynman vale para funções de onda (como a função de onda Hartree-Fock) que, embora não sejam funções próprias do Hamiltoniano, derivam de um princípio variacional. É também por isso que ela se aplica, por exemplo, na teoria funcional da densidade, que não é baseada na função de onda e para a qual a derivação padrão não se aplica.

De acordo com o princípio variacional de Rayleigh-Ritz, as funções próprias da equação de Schrödinger são pontos estacionários do funcional (que denominamos Schrödinger funcional por questões de concisão):

${\displaystyle �[�,�]=\frac{⟨�|{\widehat{�}}_{�}|�⟩}{⟨�|�⟩}.}$/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Os autovalores são os valores que a funcional Schrödinger assume nos pontos estacionários:

${\displaystyle {�}_{�}=�[{�}_{�},�],}$

/ equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

(3)

Onde ${\displaystyle {�}_{�}}$ satisfaz a condição variacional:

${\displaystyle {\frac{��[�,�]}{��(�)}|}_{�={�}_{�}}=0.}$/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Vamos diferenciar a Eq. (3) usando a regra da cadeia :

${\displaystyle \frac{�{�}_{�}}{��}=\frac{\mathrm{\partial }�[{�}_{�},�]}{\mathrm{\partial }�}+\int \frac{��[�,�]}{��(�)}\frac{�{�}_{�}(�)}{��}��.}$/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Devido à condição variacional, a Eq. (4), o segundo termo na Eq. (5) desaparece. Em uma frase, o teorema de Hellmann – Feynman afirma que a derivada dos valores estacionários de uma função (al) em relação a um parâmetro do qual ela pode depender pode ser computada apenas a partir da dependência explícita, desconsiderando a implícita . Devido ao fato de que o funcional de Schrödinger só pode depender explicitamente de um parâmetro externo através da equação Hamiltoniana. (1) segue trivialmente.

Aplicações de exemplo

Forças moleculares

Quando se trata de aplicações, a mais comum do teorema em questão é o cálculo de forças intramoleculares em moléculas. Isso permite que sejam feitos muitos cálculos degeometrias de equilíbrio - as coordenadas nucleares onde essas forças que atuam sobre os núcleos (que é devido aos elétrons e outros núcleos) desaparecem.

O parâmetro λ corresponde às coordenadas dos núcleos. Para uma molécula com 1 ≤ i ≤ N elétrons com coordenadas { r _i } e 1 ≤ α ≤ M núcleos, cada um localizado em um ponto especificado { R _α = { X _α, Y _α, Z _α )} e com carga nuclear Z _α, o núcleo Hamiltoniano preso é

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

O componente x da força que atua em um determinado núcleo é igual ao negativo da derivada da energia total em relação a essa coordenada. Empregar o teorema de Hellmann – Feynman é igual a

${\displaystyle {�}_{{�}_{�}}=-\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }{�}_{�}}=-⟨�|\frac{\mathrm{\partial }\widehat{�}}{\mathrm{\partial }{�}_{�}}|�⟩.}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Apenas dois componentes do Hamiltoniano contribuem para a derivada requerida   - os termos elétron-núcleo e núcleo-núcleo. Diferenciando os rendimentos hamiltonianos ^[6]

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

A inserção disso no teorema de Hellmann – Feynman retorna o componente x da força no núcleo dado em termos de densidade eletrônica ( ρ ( r )) e as coordenadas atômicas e cargas nucleares:

${\displaystyle {�}_{{�}_{�}}={�}_{�}\left(\int \mathrm{d}\mathbf{�}�(\mathbf{�})\frac{�-{�}_{�}}{|\mathbf{�}-{\mathbf{�}}_{�}{|}^3}-\sum _{�\ne �}^{�}{�}_{�}\frac{{�}_{�}-{�}_{�}}{|{\mathbf{�}}_{�}-{\mathbf{�}}_{�}{|}^3}\right).}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Valores de expectativa

Uma abordagem alternativa para aplicar o teorema de Hellmann – Feynman é promover um parâmetro fixo ou discreto que pareça em um hamiltoniano uma variável contínua apenas com o objetivo matemático de obter uma derivada. Os parâmetros possíveis são constantes físicas ou números quânticos discretos. Como exemplo, a equação radial de Schrödinger para um átomo do tipo hidrogênio é

${\displaystyle {\widehat{�}}_{�}=-\frac{{\hslash }^2}{2�{�}^2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}�}\left({�}^2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}�}\right)-�(�+1)\right)-\frac{�{�}^2}{�},}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

que depende do número quântico azimutal discreto l . Promover l como um parâmetro contínuo permite que a derivada do Hamiltoniano seja tomada:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{\widehat{�}}_{�}}{\mathrm{\partial }�}=\frac{{\hslash }^2}{2�{�}^2}(2�+1).}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

O teorema de Hellmann – Feynman permite a determinação do valor esperado de ${\displaystyle \frac{1}{{�}^2}}$ para átomos do tipo hidrogênio:^[7]

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equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Forças de Van der Waals

No final do artigo de Feynman, ele afirma que " as forças de Van der Waals também podem ser interpretadas como decorrentes de distribuições de carga com maior concentração entre os núcleos. A teoria Schrödinger perturbação por dois átomos que interagem com uma separação de R, grande em comparação com os raios dos átomos, conduz ao resultado de que a distribuição de carga de cada uma é distorcida de simetria central, um momento dipolar de ordem 1/R⁷ ser induzida em cada átomo. A distribuição de carga negativa de cada átomo tem seu centro de gravidade movido levemente em direção ao outro. Não é a interação desses dipolos que leva a força de van der Waals das, mas sim a atração de cada núcleo para a distribuição de carga distorcida de seus próprios elétrons que dá a atraente 1/R⁷ força ".

Teorema de Hellmann – Feynman para funções de onda dependentes do tempo

Para uma função de onda geral dependente do tempo que satisfaça a equação de Schrödinger dependente do tempo, o teorema de Hellmann – Feynman não é válido. No entanto, a seguinte identidade é válida:

${\displaystyle ⟨{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)|\frac{\mathrm{\partial }{�}_{�}}{\mathrm{\partial }�}|{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)⟩=�\hslash \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }�}⟨{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)|\frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)}{\mathrm{\partial }�}⟩}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Para

${\displaystyle �\hslash \frac{\mathrm{\partial }{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)}{\mathrm{\partial }�}={�}_{�}{\mathrm{\Psi }}_{�}(�)}$

/

equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

Prova

A prova baseia-se apenas na equação de Schrödinger e no pressuposto de que derivadas parciais em relação a λ e t podem ser trocadas.

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equação Graceli  tensorial quântica [2]  G  [DR] =            .=    +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =